Fondamenti della meccanica atomica
Escludendo dalle nostre considerazioni le singolarità non fuchsiane, partiamo dall'equazione (85), e cerchiamo di soddisfarla con una soluzione della
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, possediamo però un mezzo per determinare statisticamente la loro distribuzione, e questo mezzo è costituito dalle leggi dell'ottica ondulatoria.
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dove sono definite dalla (82) e dalle altre due analoghe.
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Da queste e dalle (96) si ha, per moltiplicazione
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D'altra parte l'incertezza su x ed y è data in questo caso dalle dimensioni dell'orbita, cioè
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dalle sei componenti del campo elettrico E e di quello magnetico H, ciascuna delle quali soddisfa l'equazione delle onde, che per Ex, p. es., è:
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II) la relazione (data dalle esperienze di diffrazione) tra lunghezza d'onda di De Broglie ed impulso delle particelle (v. § 33, p. I).
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, il moto di questo è regolato dalle ordinarie leggi della dinamica del punto;
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, dalle condizioni iniziali, e in particolare dalle osservazioni a cui è stato inizialmente sottoposto il sistema.
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nel cap. II della parte III, dalle condizioni iniziali, e in particolare dalle osservazioni a cui è stato inizialmente sottoposto il sistema. della
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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vuol ammettere che il suo funzionamento sia governato dalle ordinarie leggi della meccanica e dell'elettrologia.
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dove e sono date dalle (23') del § 8. Poichè il primo di questi due termini rappresenta delle onde progressive di «numero d'onde» ed il secondo delle
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alla particella di energia , secondo la meccanica classica. Tuttavia, come risulta dalle curve della fig. 29, vi è la possibilità di trovare la
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Riassumendo, ad ogni autovalore della (223') corrispondono autofunzioni (con ), date dalle (226), (229'), (243), cioè da
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determiniate dalle quantità definite dalle (144), cioè ottenute con integrazioni operate sul prodotto delle autofunzioni corrispondenti ai due stati in
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, ognuna delle dipende anche dalle f costanti ; allora evidentemente le (307) assumono la forma ossia ogni dipende solo dalla ad essa coniugata, e dalle
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Aggiungiamo inoltre che la f(x) resterebbe individuata (nel senso chiarito sopra) dalle anche se la serie non fosse convergente assolutamente, ma
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il che significa che per gli operatori e definiti dalle (14) vale, invece della proprietà commutativa, la seguente formula di permutazione:
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e le saranno legate dalle relazioni (v. form. (10)):
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Conviene considerare le come gli elementi di una matrice : diremo allora che dalle componenti di un vettore rispetto agli assi y si passa alle sue
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la quale, confrontata con la (35), mostra che si passa dalle f alle f" mediante la matrice nel modo stesso con cui la matrice fa passare dalle f alle
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Difatti, il passaggio dalle f' alle f'' sarà espresso dalla formula, analoga alla (35),
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Un operatore hermitiano è rappresentato, rispetto agli assi individuati dalle autofunzioni appunto da una matrice siffatta, il cui elemento generico
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Mediante questa matrice, si passa dalle componenti del vettore f alle componenti rispetto ai nuovi assi dello stesso vettore, mediante la formula
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(1) "Distinte" vuol dire che supponiamo che ogni particella abbia una propria individualità, che cioè si possa distinguere dalle altre: se si
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dove ecc. sono dati dalla (124) e dalle analoghe. Sostituendovi queste espressioni, e tenendo conto delle (106), si trova con facili calcoli
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velocità di tutti i punti di un sistema (soggetti a forze dipendenti in modo noto dalle posizioni e dalle velocità), calcolare il valore di qualunque
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che, insieme con il valore iniziale dato dalle (143), definisce la a un tempo t qualunque, e in particolare la . Si ponga poi l'equazione
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un'osservazione massima) e i valori trovati: la che caratterizza lo stato del sistema è determinata, per t = 0, dalle equazioni
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questo schema evidentemente le direzioni degli assi di riferimento sano date dalle autofunzioni della equazione di SCHRÖDINGER.
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schema) le relazioni di permutazione seguenti, che discendono immediatamente dalle (111) e (112) del § 26:
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dalle quali eliminando si ricava
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in casi più generali, p. es. se si tratta di forze magnetiche, dipenderà anche dalle p oltrechè dalle q, e quindi conterrà anche dei simboli di
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dove i coefficienti , (piccoli del primo ordine) sono legati ai dalle relazioni lineari seguenti, che si trovano subito usando la (190),
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Assumendo come sistema di riferimento nello spazio hilbertiano quello definito dalle , cioè riferendoci allo «schema », v. § 33, l'operatore
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Dall'istante in poi i coefficienti tornano a diventare costanti, ma anzichè i valori (229) hanno i valori ottenuti dalle formule precedenti
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equazioni di Dirac, cui corrispondono diverse quaterne di funzioni . Si vede subito, anzitutto, che le (266') sono soddisfatte anche dalle matrici che
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introdurre, in luogo delle quattro , due coppie di funzioni , legate ad esse dalle seguenti relazioni
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delle (236) essi si possono scrivere . D'altra parte, dalle (270) si ricava subito che
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Ma dalle formule di permutazione e dalla (284) si ricava
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Sostituiamo ora per la sua espressione (286), e osserviamo che è permutabile con le p e con V, e che inoltre, come risulta immediatamente dalle (266
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Le matrici definite dalle (298), sono hermitiane al pari delle , e soddisfano anche esse (come si vede subito) le relazioni:
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dove i coefficienti sono vincolati dalle relazioni
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nello spazio di Minkowsky, espressa dalle formule:
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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perchè le funzioni sferiche si eliminino dalle equazioni, e queste si riducano a due sole (poichè la prima e la seconda diventano equivalenti, e così
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) differiscono dalle (340) solo per la sostituzione di / con — (/ 1). Operando quindi la stessa sostituzione nella formula (351), si trova:
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dove i coefficienti sono ricavati dalle (185'), che nel caso attuale si scrivono, prendendo k = 1 (per k = 2 si avrebbe un sistema equivalente):
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. ,, mentre restano arbitrarie: per i = 4 si trova invece dalle prime due equazioni, e dalle altre due . In conclusione si ha:
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Accademia della crusca
